Office 365 Solo持ってるので、先日、OneNote 2016 for Macについて動作がおかしいと問い合わせたんですが、OneNote for Macにはフリーアプリとそうでないのと2種類あるんです。
フリーアプリの場合、[ヘルプ]メニューに[更新プログラムのチェック]コマンドが存在しません。
そのコマンドがない場合はフリーだからということで、Microsoft Office 2016 for Macに含まれているOneNoteに更新してみると、App Storeでは[インストール]ボタンに変わりました。
とはいえ、フリー版もOffice版も機能的には変わらないんですけどね。